\[\cup\mathcal{A}\]と\[\bigcup_{X\in \mathcal{A}}X\]が同じ意味なんだよな。てことは\(\cup\mathcal{A}\)のことを\bigcupで\(\bigcup\mathcal{A}\)とは書かないほうがいいのか。
で、\[\mathcal{A}=\bigcup_{X\in\mathcal{A}}\{X\}\]なんだよな。それはどうでもいいが。
もうちょっと考えると、添え字集合を\(\Lambda\)とした集合族\(\lambda\in\Lambda\mapsto A_\lambda\)について、その値域\(\{A_\lambda\mid\lambda\in\Lambda\}\)のことを\(\{A_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\)と書いたりする。ということは\[\cup\{A_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\]なわけだ。別に左辺も\bigcupで\[\bigcup\{A_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\]と書いてもいい気がしてきたな。\(\lambda\in\Lambda\)を書く場所が移動するだけでなく、括弧がひとつ消えるところがややこしい。
追記：あー、\(\{A_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\)は値域じゃなく写像そのものを表すのかもしれない。明らかに値域を表す\(\{A_\lambda\mid\lambda\in\Lambda\}\)で書くと\[\bigcup\{A_\lambda\mid\lambda\in\Lambda\}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\]となる。
さらに追記：\(\{A_\lambda\mid\lambda\in\Lambda\}\)は\(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\{A_\lambda\}\)とも書けるので、\[\bigcup\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\{A_\lambda\}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\]となり、確かに中括弧がひとつ減っている！
