集合族\(\mathscr{E}\subseteq\mathcal{P}(\overline{\mathbb{R}})\)に対して\[\{E\cup F\subseteq\mathcal{P}(\overline{\mathbb{R}})\mid E\in\mathscr{E}, F\subseteq\{+\infty,-\infty\}\}\]\[=\{X\subseteq\mathcal{P}(\overline{\mathbb{R}})\mid X\backslash\{+\infty,-\infty\}\in\mathscr{E}\}\]のことを\(\overline{\mathscr{E}}\)と書くことにする。\(\mathscr{E}_1\subseteq\mathscr{E}_2\)ならば\(\overline{\mathscr{E}_1}\subseteq\overline{\mathscr{E}_2}\)である。この問で示すべきことは\[\sigma[\mathscr{O}_\overline{\mathbb{R}}]=\overline{\sigma[\mathscr{O}_\mathbb{R}]}\]にほかならない。左辺と右辺を見比べると、\(\mathbb{R}\)だけに付いていた\overlineが（\(\mathscr{O}\)の上を飛び越えて）\(\sigma[\cdot]\)全体を覆うようになっている。ここでは段階を踏むことにして、まずは\(\mathscr{O}_\mathbb{\overline{R}}\)と\(\overline{\mathscr{O}_\mathbb{R}}\)との関係を考えよう。
【補題】\(\mathscr{O}_\mathbb{R}\subseteq\mathscr{O}_\mathbb{\overline{R}}\subseteq\overline{\mathscr{O}_\mathbb{R}}\)である。
（証明）\(\mathbb{R},\overline{\mathbb{R}}\)はそれぞれ距離空間\((0,1),[0,1]\)と同相であるので、以下ではこれらの関係に帰着して考える。一つ目の包含関係\(\mathscr{O}_{(0,1)}\subseteq\mathscr{O}_{[0,1]}\)は明らかである。二つ目について、\(O\in\mathscr{O}_{[0,1]}\)と\(p\in O\backslash\{0,1\}\)を任意にとると、\(\{x\in[0,1]\mid |x-p| < \epsilon\}\subseteq O\)なる\(\epsilon > 0\)がとれる。 いま\(\epsilon'={\rm min}\{\epsilon,p,1-p\}\)とおくと\(\epsilon' > 0\)であり、\(\{x\in(0,1)\mid |x-p| <\epsilon'\}\subseteq O\backslash\{0,1\}\)が成り立つ。したがって\(O\backslash\{0,1\}\in\mathscr{O}_{(0,1)}\)である。■
【本題】\(\sigma[\mathscr{O}_\overline{\mathbb{R}}]=\overline{\sigma[\mathscr{O}_\mathbb{R}]}\)である。
（証明）「右辺⊆左辺」について：補題の一つ目の包含関係\(\mathscr{O}_\mathbb{R}\subseteq\mathscr{O}_\mathbb{\overline{R}}\)から、それらが生成するσ加法族についても\(\sigma[\mathscr{O}_\mathbb{R}]\subseteq\sigma[\mathscr{O}_\mathbb{\overline{R}}]\)が成り立つ。また\(\{+\infty\},\{-\infty\}\)は共に\(\overline{\mathbb{R}}\)の閉集合であるので\(\sigma[\mathscr{O}_\mathbb{\overline{R}}]\)の要素である。以上により\(\overline{\sigma[\mathscr{O}_\mathbb{R}]}\subseteq\sigma[\mathscr{O}_\overline{\mathbb{R}}]\)である。
「左辺⊆右辺」について：\(\mathscr{O}_\mathbb{R}\subseteq\sigma[\mathscr{O}_\mathbb{R}]\)により\(\overline{\mathscr{O}_\mathbb{R}}\subseteq\overline{\sigma[\mathscr{O}_\mathbb{R}]}\)、これと補題の二つ目の包含関係から\(\mathscr{O}_\mathbb{\overline{R}}\subseteq\overline{\sigma[\mathscr{O}_\mathbb{R}]}\)である。\(\overline{\sigma[\mathscr{O}_\mathbb{R}]}\)はそれ自身がσ加法族をなすことが示される（証明略）ので、これは「\(\mathscr{O}_\mathbb{\overline{R}}\)を包含するσ加法族」のひとつとなる。したがって\(\sigma[\cdot]\)の定義から\(\sigma[\mathscr{O}_\overline{\mathbb{R}}]\subseteq\overline{\sigma[\mathscr{O}_\mathbb{R}]}\)である。■
