関数の表現可能性の定義

「論理式\(F(x_1,x_2)\)が関数\(f(x)\)を表現する」

の定義は

任意の自然数\(\rm q_1,q_2\)に対して、次の(α)(β)がともに成り立つ。
(α)\(\rm f(q_1) = q_2\)であるとき\(\vdash F(\bar{\rm q_1},\bar{\rm q_2})\)
(β)\(\vdash\exists!x_2[F(\bar{\rm q_1},x_2)]\)

この(β)を

(β-)\(\rm f(q_1) = q_2\)でないとき\(\vdash\neg F(\bar{\rm q_1},\bar{\rm q_2})\)

に置き換えると、もとの条件よりも弱い条件になってしまう。

いっぽう、「強い意味で表現する」の定義は、上の(β)を

(β+)\(\vdash\exists!x_2[F(x_1,x_2)]\)

にしたもの。