【定理】（Rolleの定理）関数\(f:{\bf R}\rightarrow{\bf R}\)が\([a,b]\)で連続、\((a,b)\)で微分可能であり、\(f(a)=f(b)=0\)が成り立つとき、\(f'(c)=0\)を満たす\(c\in(a,b)\)が存在する。
（証明）最大値・最小値の定理により、\(f(x)\)は\([a,b]\)において最大値\(M\)と最小値\(m\)を持つ。\(f(a)=f(b)=0\)から、\(M\geq0\geq m\)である。
(i)\(M=m=0\)のとき：\(f(x)\)は\([a,b]\)において定数関数であるから、例えば\(c=(a+b)/2\)とすれば\(f'(c)=0\)かつ\(c\in(a,b)\)が成り立つ。
(ii)(i)以外のとき：\(M\geq0\geq m\)により、\(M > 0\)と\(m < 0\)の少なくとも一方が成り立つ。
(iia)\(M > 0\)のとき：\(f(x)=M\)となる\(x\in[a,b]\)のひとつを\(c\)とする。いま\(f(a)=f(b)=0\)である一方\(f(c) > 0\)であるので、\(c\in(a,b)\)である。\(c+h\in[a,b]\)なる\(h\)に対し\(f(c+h)-f(c)\leq0\)、したがって\(h\to\pm0\)を考えると\(f'(c)\leq0\)かつ\(f'(c)\geq0\)、ゆえに\(f'(c)=0\)となる。
(iib)\(m < 0\)のとき：(iia)と同様。■
