【定義】台集合\(X\)の部分集合族\(\mathcal{C}\)に対し、\[\mathcal{C}の要素の和集合（無限個でもよい）で表されるもの全体\]を\(\check{\mathcal{C}}\)と書く。また\[\mathcal{C}の要素の有限個の共通部分で表されるもの全体\]を\(\hat{\mathcal{C}}\)と書く。ただし、空集合は「\(\mathcal{C}\)のゼロ個の要素の和集合」とみなして\(\varnothing\in\check{\mathcal{C}}\)とし、台集合は「\(\mathcal{C}\)のゼロ個の要素の共通部分」とみなして\(X\in\hat{\mathcal{C}}\)と約束しておく。
これらの記号を用いると、\(X\)の部分集合族\(\mathcal{O}\)が位相（開集合系）をなすことは\[\mathcal{O}=\check{\mathcal{O}}=\hat{\mathcal{O}}\]と書ける。
定義から直ちに、任意の集合族\(\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}\)に対し
(1) \(\mathcal{C}\subseteq\check{\mathcal{C}},\ \mathcal{C}\subseteq\hat{\mathcal{C}}\)
(2) \(\check{\check{\mathcal{C}}}=\check{\mathcal{C}},\ \hat{\hat{\mathcal{C}}}=\hat{\mathcal{C}}\)
(3) \(\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}\)のとき、\(\check{\mathcal{A}}\subseteq\check{\mathcal{B}},\ \hat{\mathcal{A}}\subseteq\hat{\mathcal{B}}\)
が成り立つことが分かる。
以下、\(\mathcal{O}\)は\(X\)上の位相であるとする。上記の位相の特徴づけと性質(1)(3)から、\(X\)の任意の部分集合族\(\mathcal{C}\)に対して
(4) \(\mathcal{C}\subseteq\mathcal{O}\Leftrightarrow\check{\mathcal{C}}\subseteq\mathcal{O}\Leftrightarrow\hat{\mathcal{C}}\subseteq\mathcal{O}\)
が成り立つ。
【定義】\(X\)の部分集合族\(\mathcal{C}\)が\[\mathcal{C}\subseteq\mathcal{O}\subseteq\check{\mathcal{C}}\]を満たすとき、「\(\mathcal{C}\)は\(\mathcal{O}\)の基である」という。
【定義】\(X\)の部分集合族\(\mathcal{C}\)が\[\mathcal{C}\subseteq\mathcal{O}かつ\hat{\mathcal{C}}は\mathcal{O}の基である\]すなわち\[\mathcal{C}\subseteq\mathcal{O}かつ\hat{\mathcal{C}}\subseteq\mathcal{O}\subseteq\check{\hat{\mathcal{C}}}\]を満たすとき、「\(\mathcal{C}\)は\(\mathcal{O}\)の準基である」という。ただし性質(4)により、例えば\[\mathcal{C}\subseteq\mathcal{O}\subseteq\check{\hat{\mathcal{C}}}\]だけでも同値である。
以下では\(\check{\hat{\mathcal{C}}}\)を何度も扱うので、その性質を得ておく。まず(1)(3)を組み合わせることで\[\mathcal{C}\subseteq\check{\mathcal{C}}\subseteq\check{\hat{\mathcal{C}}}\tag{A}\]が言える。また(4)を繰り返し用いることで\[\mathcal{C}\subseteq\mathcal{O}\Leftrightarrow\check{\mathcal{C}}\subseteq\mathcal{O}\Leftrightarrow\check{\hat{\mathcal{C}}}\subseteq\mathcal{O}\tag{B}\]を得る。
【命題】\(\mathcal{C}\)が\(\mathcal{O}\)の基ならば、\(\mathcal{C}\)は\(\mathcal{O}\)の準基でもある。
（証明）性質(A)により、\(\mathcal{C}\subseteq\mathcal{O}\subseteq\check{\mathcal{C}}\)（基であること）は\(\mathcal{C}\subseteq\mathcal{O}\subseteq\check{\hat{\mathcal{C}}}\)（準基であること）を含意する。■
さて性質(B)により、「基であること、準基であること」はそれぞれ\(\mathcal{O}=\check{\mathcal{C}}, \mathcal{O}=\check{\hat{\mathcal{C}}}\)とも書ける。したがって、\(X\)の部分集合族\(\mathcal{C}\)が先に与えられたとき、これを基や準基に持つ位相は（存在するとすれば）一意に定まり、それは各々\(\check{\mathcal{C}},\check{\hat{\mathcal{C}}}\)に等しいはずである。また性質(A)(B)により、これらは（もしも位相をなすならば）\(\mathcal{C}\)を包含する最弱の位相となるはずである。しかし\(\check{\mathcal{C}}\)が位相をなすとは限らないので、\(\mathcal{C}\)を基に持つ位相は必ずしも存在しない。いっぽう、\(\check{\hat{\mathcal{C}}}\)と準基については次が成り立つ。
【命題】\(X\)の任意の部分集合族\(\mathcal{C}\)に対し、\(\check{\hat{\mathcal{C}}}\)は位相をなす。
（証明）\(\check{\hat{\mathcal{C}}}=\check{\check{\hat{\mathcal{C}}}}=\hat{\check{\hat{\mathcal{C}}}}\)を言えばよい。
・\(\check{\hat{\mathcal{C}}}=\check{\check{\hat{\mathcal{C}}}}\)であること：性質(2)の\(\mathcal{C}\)を改めて\(\hat{\mathcal{C}}\)と見ればよい。
・\(\check{\hat{\mathcal{C}}}=\hat{\check{\hat{\mathcal{C}}}}\)であること：\(C_1,C_2\in\check{\hat{\mathcal{C}}}\)を仮定し、\(C_1\cap C_2\in\check{\hat{\mathcal{C}}}\)を導く。\(C_1=\bigcup_\lambda U_\lambda,C_2=\bigcup_\mu U_\mu\)（ただし\(U_\lambda,U_\mu\in\hat{\mathcal{C}}\)）と書けるから、\(C_1\cap C_2=\bigcup_{\lambda,\mu}(U_\lambda\cap U_\mu)\)、いま\(U_\lambda\cap U_\mu\in\hat{\hat{\mathcal{C}}}=\hat{\mathcal{C}}\)より、これは\(\check{\hat{\mathcal{C}}}\)に属す。
結局、\(\check{\hat{\mathcal{C}}}\)は「\(\mathcal{C}\)を準基に持つ\(X\)上の位相」とも「\(\mathcal{C}\)を包含する最弱の位相」とも呼ぶことができる。これを「\(\mathcal{C}\)が生成する位相」という。
