\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)を\(n=1,2,3,\ldots\)について二項展開すると以下のようになる。
\(\left(1+\frac{1}{1}\right)^1=1+1\left(\frac{1}{1}\right)^1\)
\(\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=1+2\left(\frac{1}{2}\right)^1+1\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
\(\left(1+\frac{1}{3}\right)^3=1+3\left(\frac{1}{3}\right)^1+3\left(\frac{1}{3}\right)^2+1\left(\frac{1}{3}\right)^3\)
\(\left(1+\frac{1}{4}\right)^4=1+4\left(\frac{1}{4}\right)^1+6\left(\frac{1}{4}\right)^2+4\left(\frac{1}{4}\right)^3+1\left(\frac{1}{4}\right)^4\)
\(\left(1+\frac{1}{5}\right)^5=1+5\left(\frac{1}{5}\right)^1+10\left(\frac{1}{5}\right)^2+10\left(\frac{1}{5}\right)^3+5\left(\frac{1}{5}\right)^4+1\left(\frac{1}{5}\right)^5\)
\(\left(1+\frac{1}{6}\right)^6=1+6\left(\frac{1}{6}\right)^1+15\left(\frac{1}{6}\right)^2+20\left(\frac{1}{6}\right)^3+15\left(\frac{1}{6}\right)^4+6\left(\frac{1}{6}\right)^5+1\left(\frac{1}{6}\right)^6\)
\(\quad\vdots\)
右辺の各項を縦に見てゆくと、初項はどれも\(1\)だが、その隣も\(1\)ばかりになる。さらにその右の列も計算してみれば分かるが、いずれも単調に増加している。つまり右辺のレイアウトにおいて、ある項の値が直上にある項を下回ることは決してない。したがって\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)の値は、\(n\)をひとつ増やすと各項がすべて元の値以上になり、さらにもうひとつ正の項が追加されるから、全体として必ず増加する。
では、なぜそうなるのだろうか？例えば\(10\left(\frac{1}{5}\right)^3\)と\(20\left(\frac{1}{6}\right)^3\)を見比べると、それぞれ次のように計算される。
\[_5C_3\left(\frac{1}{5}\right)^3=\frac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}\cdot\frac{1}{5\cdot5\cdot5}=\frac{1}{3\cdot2\cdot1}\cdot\frac{5}{5}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5}\]\[_6C_3\left(\frac{1}{6}\right)^3=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}\cdot\frac{1}{6\cdot6\cdot6}=\frac{1}{3\cdot2\cdot1}\cdot\frac{6}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{4}{6}\]
先頭の\(1/(3\cdot2\cdot1)\)は共通で、そのあとの3項はいずれも分子と分母の差が共通であるが、後者のほうが分母が大きいため、分子が分母に「肉迫している」。したがって後者は前者以上であることが分かる。これと同じことが上下に隣り合う項の各組について一般に言える。
