\(k=0,1,\ldots,n\)について\[s_n(k)=1\cdot\left(1-\frac{0}{n}\right)\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\leq1\]である。よって\[a_n=\frac{s_n(0)}{0!}+\frac{s_n(1)}{1!}+\frac{s_n(2)}{2!}+\cdots+\frac{s_n(n)}{n!}\]\[\leq\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\]\(k\geq 1\)に対し\(k!=1\times2\times3\times\cdots\times k\geq1\times2\times2\times\cdots\times2=2^{k-1}\)であるから\[\leq\frac{1}{0!}+\left(\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\right)\]\[=\frac{1}{0!}+\frac{1}{2^0}\cdot\frac{1-(1/2)^n}{1-(1/2)}=1+2\left(1-\frac{1}{2^n}\right) < 3\]
