※教科書に合わせ、\(0\)は自然数に含めないものとする。
任意の\(\epsilon > 0\)をとる。\(\epsilon/2 > 0\)と\(a_n\to0\)により、\(a_{N_1}\)以降の任意の\(a_n\)について\(|a_n| < \epsilon/2\)が成り立つような自然数\(N_1\)がとれる。数列\(a_n\)の、\(a_{N_1}\)よりも前の項の合計を\(S\)とする（\(N_1=1\)のときは\(S=0\)）。アルキメデスの原理により\[|S|< N_2\cdot\frac{\epsilon}{2}\]なる自然数\(N_2\)がとれる。すると\(n\geq{\rm max}\{N_1,N_2\}\)なる任意の\(n\)について\[|a_1+\cdots+a_n|\leq|S|+|a_{N_1}|+\cdots+|a_n|\]\[ < N_2\cdot\frac{\epsilon}{2}+[n-(N_1-1)]\cdot\frac{\epsilon}{2}\leq n\cdot\frac{\epsilon}{2}+n\cdot\frac{\epsilon}{2}=n\epsilon\]すなわち\[\left|\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}-0\right|=\frac{|a_1+\cdots+a_n|}{n} < \epsilon\]が成り立つ。以上により\( (a_1+\cdots+a_n)/n\to0\)である。
