\(a\)は半順序集合\(A\)の元であり、\(A_{> a}=\{x\in A\mid a < x\}\)とする。\(b\in A\)について、次は同値である。
(1)\(b\)は\(a\)の直後の元である。
(2)\(b\)は\(A_{> a}\)の極小元である。
（証明）いずれも\(a < b\wedge\forall x\in A[a < x\Rightarrow x\nless b]\)と書ける。■
\(a\)は半順序集合\(A\)の元であり、\(A_{> a}=\{x\in A\mid a < x\}\)とする。\(b\in A\)について、次は同値である。
(1)\(b\)は\(a\)の直後の元である。
(2)\(b\)は\(A_{> a}\)の極小元である。
（証明）いずれも\(a < b\wedge\forall x\in A[a < x\Rightarrow x\nless b]\)と書ける。■