\(\underline{s}_n(f)\leq\underline{s}_{n+1}(f)\)の部分の証明。
\[\Lambda=\bigsqcup_{K_n} I_{n,k}\]である。ただし\(K_n\)は\( (-l/2)2^n\leq k_j < (l/2)2^n\)を満たす\((2^nl)^d\)個の\((k_j)_{j=1}^d\in\mathbb{Z}^d\)の集合であり、\(k\)は\(K_n\)の全要素をわたる。さらに\[I_{n,k}=\bigsqcup_{H_k} I_{n+1,h}\]である。ただし\(H_k\)は\(h_j=2k_jまたは2k_j+1\)を満たす\(2^d\)個の\( (h_j)_{j=1}^d\in\mathbb{Z}^d\)の集合であり、\(h\)は\(H_k\)の全要素をわたる。これらをまとめると\[\Lambda=\bigsqcup_{K_n} I_{n,k}=\bigsqcup_{K_n}\bigsqcup_{H_k} I_{n+1,h}=\bigsqcup_{K_{n+1}} I_{n+1,k}\]となる。\(h\in H_k\)のとき\(I_{n,k}\supseteq I_{n+1,h}\)から\[\underline{f}_{n,k}\leq\underline{f}_{n+1,h}\]が成り立つ。\(h\)を\(H_k\)の全要素にわたらせて不等式を合計し、さらに\(k\)を\(K_n\)の全要素にわたらせて合計した\[\sum_{K_n}\sum_{H_k}\underline{f}_{n,k}\leq\sum_{K_n}\sum_{H_k}\underline{f}_{n+1,h}\]の両辺をそれぞれ書き直すことにより\[\sum_{K_n}2^d\underline{f}_{n,k}\leq\sum_{K_{n+1}}\underline{f}_{n+1,k}\]を得る。両辺を\(2^{(n+1)d}\)で割ると\[\underline{s}_n(f)\leq\underline{s}_{n+1}(f)\]が導かれる。
