……作り方から、次が分かる。
・数列\(c_k\)は単調増加数列である。
・\(c_k\leq a_{n_k}\leq d_k=c_k+(d-c)/2^k\)
数列\(c_k\)は単調増加であり上界\(d\)を持つから（定理3-1により）収束し、その極限値\(\alpha\)は（定理2-6により）\([c,d]\)に属す。\((d-c)/2^k\to0\)と「和の極限値は極限値の和」、およびはさみうちの原理により\(a_{n_k}\to\alpha\)が言えるが、いまはこれらを用いずに\(a_{n_k}\to\alpha\)を示す。
任意の\(\epsilon > 0\)をとる。\(\epsilon/2 > 0\)と\(c_k\to\alpha\)により、\(c_{N_1}\)以降のすべての\(c_k\)が\[\alpha-\frac{\epsilon}{2} < c_k <\alpha + \frac{\epsilon}{2}\]を満たすような自然数\(N_1\)がとれる。またアルキメデスの原理により\[\frac{d-c}{2^{N_2}} < \frac{\epsilon}{2}\]なる自然数\(N_2\)がとれる。すると\(k\geq{\rm max}\{N_1,N_2\}\)なるすべての自然数\(k\)に対し\[\alpha-\frac{\epsilon}{2} < c_k\leq a_{n_k}\leq c_k+\frac{d-c}{2^k}\leq c_k+\frac{d-c}{2^{N_2}} < \left(\alpha+\frac{\epsilon}{2}\right)+\frac{\epsilon}{2}\]すなわち\(|a_{n_k}-\alpha| < \epsilon\)が成り立つ。■
