「数列\(a_n\)は\(\alpha\)に収束する」、すなわち\[\forall\epsilon > 0\exists N[\alpha-\epsilon < a_{N 以降すべて}\quad < \alpha+\epsilon]\]という条件を、「\(a_n\)は単調増加である」という状況に限って書き直してみよう。この状況のもとでは\[\alpha-\epsilon < a_{N以降すべて}\quad\Leftrightarrow\alpha-\epsilon < a_N\]\[a_{N以降すべて}\quad < \alpha+\epsilon\Leftrightarrow a_{すべて} < \alpha+\epsilon\]であるので、
\[\forall\epsilon > 0\exists N[\alpha-\epsilon < a_N かつ a_{すべて} < \alpha+\epsilon]\]と書き直せる。いま、「かつ」の後件は\(N\)に無関係であるので\(\exists\)の外に出すことができ\[\forall\epsilon > 0\left[\exists N[\alpha-\epsilon < a_N] かつ a_{すべて} < \alpha+\epsilon\right]\]さらに\(\forall[\ldots かつ \ldots]\)はバラすことができる：\[\forall\epsilon > 0\exists N[\alpha-\epsilon < a_N]\quad かつ \quad\forall\epsilon > 0[a_{すべて} < \alpha+\epsilon]\]これを見ると、「かつ」の前件は「\(\alpha\)よりわずかでも小さいものは数列\(a_n\)の上界でない」ことを、後件は「\(a_{すべて}\leq\alpha\)」すなわち「\(\alpha\)は数列\(a_n\)の上界である」ことを表しているから、合わせて「\(\alpha\)は数列\(a_n\)の上限である」という意味になる。
