雪江明彦『代数学1群論入門』補題3.1.2、$U^3+V^3$の計算で$(3\alpha_1+a_1)(3\alpha_2+a_1)(3\alpha_3+a_1)$を得てからは、素朴に$a_1$についての3次式と見て展開してもよい。\[(a_1+3\alpha_1)(a_1+3\alpha_2)(a_1+3\alpha_3)\]\[=a_1^3+3(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3){a_1}^2+9(\alpha_1\alpha_2+\alpha_2\alpha_3+\alpha_3\alpha_1)a_1+27\alpha_1\alpha_2\alpha_3\]\[=a_1^3+3(-a_1)a_1^2+9a_2a_1+27(-a_3)\]
また$U^3+V^3$を愚直に展開すると\[2({\alpha_1}^3+{\alpha_2}^3+{\alpha_3}^3)-3({\alpha_1}{\alpha_2}^2+{\alpha_1}^2{\alpha_2}+{\alpha_2}{\alpha_3}^2+{\alpha_2}^2{\alpha_3}+{\alpha_3}{\alpha_1}^2+{\alpha_3}^2{\alpha_1})+12\alpha_1\alpha_2\alpha_3\]となるが、このまま因数分解せずに基本対称式で表すことも可能である。基本対称式${\alpha_1}+{\alpha_2}+{\alpha_3}, {\alpha_1}{\alpha_2}+{\alpha_2}{\alpha_3}+{\alpha_3}{\alpha_1},{\alpha_1}{\alpha_2}{\alpha_3}$をそれぞれ$A,B,C$とおく。上式中盤の$-3(\cdots)$の中身を$K$とすると$A^3={\alpha_1}^3+{\alpha_2}^3+{\alpha_3}^3+3K+6C$により、上式は
\[2[A^3-3K-6C]-3K+12C\]\[=2A^3-9K\]と整理される。いま$AB=K+3C$であるので、これはさらに\[2A^3-9(AB-3C)\]となる。$A=-a_1,B=a_2,C=-a_3$に注意すれば、教科書の結果と一致していることが分かる。
