\(J_k(x)=-\cos x\sin^k x\)とおくと\[{J_k}'(x)=(k+1)\sin^{k+1}x-k\sin^{k-1}x\]が成り立つ。すると例えば\[\sin^7x=\frac{1}{7}({J_6}'(x)+6\sin^5x)=\cdots\]\[=\frac{1}{7}\left({J_6}'(x)+\frac{6}{5}\left({J_4}'(x)+\frac{4}{3}\left({J_2}'(x)+\frac{2}{1}{J_0}'(x)\right)\right)\right)\]したがって\[\int_0^{\pi/2}\sin^7xdx=\left[\frac{1}{7}\left(J_6(x)+\frac{6}{5}\left(J_4(x)+\frac{4}{3}\left(J_2(x)+\frac{2}{1}J_0(x)\right)\right)\right)\right]_0^{\pi/2}\]\[=-\frac{6\cdot4\cdot2}{7\cdot5\cdot3\cdot1}(-\cos0)=\frac{6!!}{7!!}\]となる。
